Mobiliser ses connaissances ; exploiter un schéma ; effectuer des calculs.

Commencer par résoudre l'énoncé compact. En cas de difficultés, passer à l'énoncé détaillé.

Le schéma ci-dessous représente quelques lignes de champ électrostatique dû à deux corps A et B chargés positivement et maintenus à une distance d = 10 cm l'un de l'autre.

Énoncé compact

Déterminer la position du point M, par rapport au corps A, pour laquelle un système chargé est en équilibre sous l'action des forces électrostatiques exercées par les corps A et B.

Énoncé détaillé

Identifier la ligne de champ sur laquelle les vecteurs champ électrostatique $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ respectivement dus au corps A et au corps B sont colinéaires.
1. Quelles caractéristiques doivent avoir les vecteurs $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ pour que la somme $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}~+~\vec{E}_\textnormal{B}$ soit égale au vecteur nul ?
2. En déduire la relation entre la valeur de ces deux champs électrostatiques.
Déterminer la position du point M, par rapport au corps A, pour laquelle un système chargé est en équilibre sous l'action des forces électrostatiques exercées par les corps A et B.

Les vecteurs champ $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ ont pour direction la droite qui passe par l'objet source respectivement $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ ou $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ et par le point de l'espace considéré.

La ligne de champ sur laquelle les vecteurs champ électrostatique $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ sont colinéaires est donc la droite horizontale qui passe par les centres des deux corps A et B.
1. $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ doivent être deux vecteurs opposés pour que leur somme soit égale au vecteur nul : $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ = − $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ alors $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ + $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ = 0.
2. $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ = − $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ donc $\displaystyle E_\textnormal{A}$ = $\displaystyle E_\textnormal{B}$ .
On considère une charge q' placée en M. La force électrostatique exercée par la charge placée en A sur la charge q' placée en M est : $\displaystyle \vec{F}_\textnormal{A/M} = q'\vec{F}_\textnormal{A}$ .

La force électrostatique exercée par la charge placée en B sur la charge q' placée en M est : $\displaystyle \vec{F}_\textnormal{B/M} = q'\vec{E}_\textnormal{B}$ .

Le système chargé est en équilibre en M si $\displaystyle \vec{F}_\textnormal{A/M} + \vec{F}_\textnormal{b/M} = \vec{0}$ soit $\displaystyle q'\vec{E}_\textnormal{B} + q'\vec{E}_\textnormal{A} = \vec{0}$ soit $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A} = -\vec{E}_\textnormal{B}$ donc $\displaystyle E_\textnormal{A}$ = $\displaystyle E_\textnormal{B}$ .

Les vecteurs champ sont orientés depuis l'objet source car les charges sont positives. Le point M appartient au segment qui joint A et B car c'est la seule région de l'espace où $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ sont opposés. (Sur la droite AB, en dehors de ce segment, $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{A}$ et $\displaystyle \vec{E}_\textnormal{B}$ sont de même sens.)

$\displaystyle E = k × \frac{|q_{\textnormal{source}}|}{d^2}$

En notant x la distance entre A et M, il vient : $\displaystyle E_\textnormal{A} = k × \frac{2|q|}{x^2}~\textnormal{et}~E_\textnormal{B} = k × \frac{|q|}{(d - x)^2}$ . Or $\displaystyle E_\textnormal{A} = E_\textnormal{B}$ donc $\displaystyle k × \frac{2|q|}{x^2} = k × \frac{|q|}{(d - x)^2}$ soit $\displaystyle \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(d - x)^2}$ donc x² − 2 (d − x)² = 0, identité remarquable que l'on écrira sous la forme : $\displaystyle (x - \sqrt{2}(d - x)) × (x + \sqrt{2}(d - x)) = 0$

Il y a deux solutions mathématiques :
- soit $\displaystyle x - \sqrt{2}(d - x) = 0$ , ce qui conduit à $\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} × {\color{grey}1~\textnormal{cm}} = 0{,}59~\textnormal{cm}$ ;
- soit $\displaystyle x + \sqrt{2}(d - x) = 0$ , ce qui conduit à $\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} × {\color{grey}1~\textnormal{cm}} = 3{,}4~\textnormal{cm}$ .
La seule solution possible est inférieure à d : x = 0,59 cm.

Physique-Chimie 1re